EVOLUCIÓN DE LAS HERRAMIENTAS DEL CÁLCULO MATEMÁTICO

Como parte del trabajo estudiaremos las primeras ayudas, instrumentos y máquinas que utilizaron nuestros antepasados para resolver cálculos, y como éstos fueron evolucionando a medida que el tiempo pasa y los medios avanzaban:

*Calculo con sus dedos y sus manos

Los dedos se han usado de tres formas distintas como ayuda al cálculo, estas son:

1. Para contar con ellos.
2. Para representar números mediante posiciones complejas, y así guardar resultados intermedios durante la ejecución de cálculos mentales.
3. Para realizar operaciones de multiplicación.

Contar con sus dedos y sus manos es seguramente el modo de contar más antiguo y es muy probable que ya fuera utilizado en la prehistoria. Está en el origen de la forma de los signos en la mayoría de los sistemas de numeración; pero, lógicamente, es mucho más fácil de ver con claridad en los más antiguos que en los más modernos. Con los dedos de las manos se puede llegar a contar hasta 1024, usando el sistema binario, utilizaban elementos de sus manos como la pulgada, pie, brazada, cuarta, con la que efectuaban cálculos a la medida.  

 

      

 

                                           

• También es posible contar con los dedos en el sistema duodecimal. Suele hacerse con las falanges, por ejemplo:

1. el pulgar sobre la primera falange del dedo índice.
2. el pulgar sobre la segunda falange del dedo índice.
3. el pulgar sobre la tercera falange del dedo índice.
4. el pulgar sobre la primera falange del dedo corazón.

Y así sucesivamente hasta llegar a 12: el pulgar sobre la tercera falange del dedo meñique.

*EL ÁBACO

Desde épocas tempranas se han manipulado piedras sobre el polvo o usado un palo o el propio dedo sobre tablas de polvo (como sustitución del papel y la tinta) para hacer operaciones. Por eso se cree que la palabra semítica abaq (polvo) es la raíz de nuestra palabra moderna ábaco; y que fue adoptada por los griegos que utilizaban la palabra abax para nombrar la superficie plana en la que dibujaban sus líneas de cálculo. Como gran parte de la aritmética se realizaba en el ábaco, llegó un momento en el que ambas palabras se utilizaban indistintamente, considerándose sinónimos.

Su origen no está muy claro, y probablemente comenzó simplemente como piedras que se movían en líneas dibujadas sobre polvo. Pero lo que sí es seguro es que por el 1000 a.C. en la civilización china el ábaco era una herramienta indispensable para efectuar todas las transacciones comerciales en las que era necesario realizar operaciones rápidas y eficaces.

El ábaco no era otra cosa que un rudimentario marco o tablilla de madera dotada de una serie de varillas verticales que dividían la tabla en varias columnas, en las cuales habían una serie de bolas o anillos a modo de cuentas. La columna situada más a la derecha representaba las unidades, la anterior a las decenas y así sucesivamente. En la parte inferior de cada columna existían cinco cuentas elementales y, situadas en la parte superior otras dos de distinto color que representaban cinco unidades. Así, representando un número en el ábaco mediante las cuentas situadas en las columnas correspondientes, las sumas se realizaban añadiendo las cuentas necesarias a cada columna dígito a dígito, de forma que si en este proceso se completaba alguna columna con diez cuentas, éstas eran eliminadas y se sumaba una cuenta en la columna inmediatamente a su izquierda.

El ábaco se ha usado en muchas culturas, incluso en la europea; pero al disponerse de papel y lápiz su uso era limitado. Como muestra de ello hay varias variantes de ábaco:

• Ábaco ruso: Es decimal, dispone de diez anillos de madera en cada columna.
• Ábaco europeo: Era una mesa de conteo en al que se dibujaban unas líneas con tiza o tinta. La línea de la parte inferior representaba las unidades y en cada salto de línea se multiplicaba por diez el valor anterior. El valor entre líneas representaba cinco veces el valor anterior.
• Ábaco chino: Consistía en un marco con dos zonas y 17 barras con siete cuentas en cada una, cinco en la sección inferior (tierra) de valor unidad, y dos en la superior (cielo) de valor cinco (véase Figura 1). Con lo que en cada barra se podía representar un número del 1 al 15.

Figura 1: El ábaco chino.

• - Ábaco japonés (soroban): Se diferencia del chino en que en el cielo sólo pone una cuenta y en tierra sólo cuatro. Se puede considerar el último desarrollo del ábaco, en el que además las cuentas se han modificado en su perfil para facilitar el manejo por los dedos del operador; consiguiéndose una gran velocidad a la hora de realizar sumas o restas con acarreo.

Como nota característica diremos que el 12-11-1946 compitió el soldado Wood del ejército de EE.UU., que era el operador de máquinas eléctricas de calcular más experto; y Kiyoshi Matsuzaki, un japonés muy entrenado en el uso del Soroban. Y que en cuatro de las cinco pruebas ganó el ábaco con diferencia, perdiendo solo en la prueba de la multiplicación.

Con esto queda demostrado que el ábaco no era un juguete de niños como muchos afirman, sino que si se sabe utilizar es muy potente.

*LAS TABLAS DE NEPER

Tras el ábaco hubo un vacío en el que no apareció nada que revolucionase el cálculo, hasta que en 1614 Jonh Napier (1550-1617) (véase Figura 2) anunciara el descubrimiento de los logaritmos. Éstos eran funciones matemáticas que permitían que los resultados de complicadas multiplicaciones y divisiones se redujeran a un proceso de simples sumas y restas, respectivamente.

Jonh Neper.

Inventó un dispositivo consistente en unos palillos con números impresos que merced a un ingenioso mecanismo le permitía realizar operaciones de multiplicar y dividir. A este dispositivo se le conoce como Tablas de Neper

 Las Tablas de Neper.

Funcionamiento: Para entender cómo funcionaban las tablas, haremos la multiplicación de 592 por 321 (véase Figura 4). Cada celda se divide en dos partes, la de arriba indica las decenas, y la de abajo las unidades; estos dígitos se obtienen, en el caso de la primera celda, al multiplicar 5 por 3 (1 decena y 5 unidades = 15). En la siguiente celda multiplicaríamos 9 por 3 y así con todas.

 Funcionamiento de las Tablas.

Una vez hechas las operaciones anteriores, sólo hay que sumar las diagonales indicadas en la figura:

• Unidades: Obtenidas al sumar 2=2.
• Decenas: Obtenidas al sumar 4+0+9=13 (nos llevamos una para sumar al número siguiente).
• Centenas: Obtenidas al sumar 6+0+8+0+5+1=20 (el acarreo es dos).
• Unidades de Millar: Obtenidas al sumar 0+7+1+0+0+2=10 (con acarreo igual a 1).
• Decenas de Millar: Obtenidas de sumar 2+5+1+1=9.
• Centenas de Millar: Obtenidas de sumar 1=1.
• El orden de lectura de este resultado es de arriba hacia abajo. El resultado es 190032.

Aunque Neper no llegó a construir ninguna máquina de cálculo basada en sus tablas, puso la base para algunos autores que si desarrollaron máquinas basadas en ellas. Gaspar Schott, Atanasio Kircher, Wilhelm Schickard y Blaise Pascal fueron algunos de los que tuvieron muy en cuenta estas Tablas para realizar sus máquinas.

En fin, el uso de las Tablas de Neper se extendió muy rápido debido a su gran utilidad, e incluso se fueron desarrollando varias adaptaciones a lo largo del tiempo. A finales del siglo XIX se puso punto y final a la evolución de las Tablas de Neper, cuando Henri Genaille resolvió un problema que planteó Eduardo Lucas, desarrollando un nuevo juego de tablas de Neper en el proceso de solución. En ellas se elimina el problema de acarrear dígitos de una columna a la siguiente en la lectura de los productos parciales. También se creó un conjunto de reglas para la división.

2.1.4. Herramientas analógicas

En la época de Neper (s. XVI-XVII) los problemas de cálculo más importantes eran los de astronomía, navegación y cálculo de horóscopos; con lo que aparecieron una serie de herramientas que facilitaban éstos:

• Cuadrante: Tenía bastantes funciones relacionadas con la trigonometría de la época.
• Compas: Entre sus funciones destacaban, la reducción y ampliación de dibujos a escala, dividir un círculo en x partes iguales y la determinación de raíces cuadradas y cúbicas.
• Sector: Útil y potente para cálculos trigonométricos.
• Astrolabio: Servía para realizar diferentes observaciones y cálculos astronómicos (más de mil se decía).
• Regla de cálculo: Hacia 1622 William Oughtred utilizó los recién inventados logaritmos para fabricar un dispositivo que simplificaría la multiplicación y la división. Consistía en dos regla graduadas unidas que se deslizaban una sobre la otra.}      

*QUIPU

El quipu fue un sistema nemotecnia mediante cuerdas de lana o algodón y nudos de uno o varios colores desarrollado por las civilizaciones andinas. Si bien se sabe que fue usado como un sistema de contabilidad por los quipucamayoc (khipu kamayuq), sabios del Imperio inca, podría haber sido usado también como una forma de escritura, hipótesis sostenida entre otros por el ingeniero William Burns Glynn.

Se han hallado quipus desde la Huaca de San Marcos, hasta Cerro del Oro, correspondiendo estos a la cultura Wari. En la actualidad se conservan en museos alrededor de 750 quipus.

Su uso como sistema de numeración es la forma más conocida. En este caso, las cuerdas secundarias representan, cada una, un número. Los nudos van indicando las cifras según su orden: las unidades se hallan a mayor distancia del cordel principal. Pablo Macera dice que el quipu era el elemento matriz de la cultura inca y que el control político se debió en parte a que a través de ellos podían llevar un cálculo de los pueblos que controlaban. Para el conteo, también se apoyaban en el uso de la yupana o ábaco inca, del cual se conoce su existencia por los cronistas, pero no su manejo específico, aunque hoy en día se ha adaptado como instrumento pedagógico, para enseñanza de las matemáticas en proyectos interculturales, en Perú, Bolivia, Ecuador y República Dominicana.

Cada grupo de nudos es un dígito y hay tres tipos principales de nudos:

• Simples, nudo de una vuelta (representado por una s en el sistema de Ascher);
• Largos, consistentes en un nudo con una o más vueltas adicionales (representado por una L en el sistema de Ascher);
• Con forma de 8, (representado por una E en el sistema de Ascher).

En el sistema de Ascher un cuarto tipo de nudo, con forma de ocho con una vuelta extra, es representado por EE.

Un número es representado por una secuencia de grupos de nudos en base decimal.

• Las potencias de diez se muestran una posición a lo largo de la cadena y esa posición está alineada entre los capítulos sucesivos.
• Los dígitos en las posiciones decimales y para las potencias superiores están representados por grupos de nudos simples (por ejemplo, 40 es cuatro nudos simples en una fila en la posición decena).
• Los dígitos en las posiciones de unidades son representados por nudos largos (por ejemplo, 4 es un nudo con 4 vueltas). Debido a la forma en que los nudos se atan, el dígito 1 no puede ser mostrado de esta manera y está representado en esa posición por una figura en forma de ocho.
• El cero es representado por la ausencia de un nudo en la posición apropiada. (Representado por una X en el sistema de Ascher)
• Debido a que el dígito de las unidades se muestra en una forma distintiva, es claro en donde un número termina. Un capítulo en un quipu por lo tanto puede contener varios números.

Ejemplos en el sistema de Ascher:

• El número 731 estaría representado por 7s, 3s, E;
• El número 804 estaría representado por 8s, X, 4L;
• El número 107 seguido del número 51 se representaría por 1s, X, 7L, 5s, E.

Esta lectura puede ser confirmada por un hecho afortunado: los quipus regularmente contienen sumas de manera sistemática. Por ejemplo, una cuerda puede contener la suma de las siguientes cuerdas y esa relación se repite en todo el quipu. A veces hay sumas de sumas también.